Multivariable Calculus
          In thermodynamics, we will frequently deal
          with functions of more than one variable
            e.g., PPT,,Vn,  UUT,V,n,  UUT,,Pn                    U = energy
                         n = # moles
          extensive variable:  depends on the size of the system
          intensive variable:  independent of the size of the system
             V, n are extensive, 
             P, T, molar volume V/n are intensive
          change volume at fixed T, n
            pressure changes
                     P
                    
               dP          dV
                    
                     V
                    
                         nT,
                                    these variables are             cylinder with piston
                                    held constant
          Suppose we have an ideal gas
               PV nRT
                PnRT
               
                         
                2
                VV
               
                      nT,                                subscripts refer
                PnR
                                                       to variables that
                         
               
                TV                                      are held constant
               
                     Vn,
                PRT
               
                         
               
                nV
               
                     VT,
           now suppose we want to see how Pchanges when both V and Tchange
                             PP
                                                                    Note that this is fully consistent with 
                    dPdV                              dT
                                                                    Taylor‐series expansions
                             V                T
                            
                                   Tn,,Vn
             If n changes as well
                                          P
                                         
                                                   dn
                     need to add a                      term
                                         
                                           n
                                         
                                                TV,
     In general,
        yy    x,,xx
              
                12 n
              n   y
                
           dx x
        dy   i, '                 hold fixed all
                  n
             i1 
                      x'             variables except x
                                                       i
      Ideal gas
                 PPP
                 
          dP           dT            dV           dn
             
                 
                  TVn
                 
                 
                     nV,,Tn                    T,V
               nR       nRT       RT
          dPdT             dV dn
                          2
                VVV
        for small finite changes
                   nR      nRT       RT
             PT V n
                             2
                   VVV
     These equations are most useful when we don't have
     an analytical function for the quantity of interest.
     Consider
       UU (,TP,n)
              UUU
               
       dU             dT           dP            dn
           
               
                TPn
              
               
                   Pn,,Tn                     T,P
         The derivatives are often available experimentally.
       We can also write
         UU    T,,Vn
                
                UUU
                 
         dU             dT           dV            dn
             
                 
                TVn
                 
                     Vn,,Tn                     T,V
                                    UU
                                  
             Note, in general,             
                                  
                                    TT
                                  
                                        P,,nVn