CourseNotes
           Tensor Calculus and Differential Geometry
                        2WAH0
                       LucFlorack
                      March10,2021
        Cover illustration: papyrus fragment from Euclid’s Elements of Geometry, Book II [8].
                             Contents
                             Preface                                                                                                                                                                          iii
                             Notation                                                                                                                                                                           1
                             1     Prerequisites from Linear Algebra                                                                                                                                            3
                             2     Tensor Calculus                                                                                                                                                              7
                                   2.1       Vector Spaces and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                7
                                   2.2       Dual Vector Spaces and Dual Bases                            .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . .               8
                                   2.3       TheKroneckerTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                 10
                                   2.4       Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                           11
                                   2.5       Reciprocal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                             14
                                   2.6       Bases, Dual Bases, Reciprocal Bases: Mutual Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                16
                                   2.7       Examples of Vectors and Covectors                            .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . .             17
                                   2.8       Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                            18
                                             2.8.1       Tensors in all Generality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                        18
                                             2.8.2       Tensors Subject to Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                          22
                                             2.8.3       SymmetryandAntisymmetryPreserving Product Operators . . . . . . . . . . . . . . .                                                                    24
                                             2.8.4       Vector Spaces with an Oriented Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                            31
                                             2.8.5       Tensors on an Inner Product Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                          34
                                             2.8.6       Tensor Transformations                     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .               36
                                                         2.8.6.1          “Absolute Tensors”                 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . .            37
                             CONTENTS                                                                                                                                                                            i
                                                         2.8.6.2          “Relative Tensors” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                  38
                                                         2.8.6.3          “Pseudo Tensors” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                    41
                                             2.8.7       Contractions             .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . .                43
                                   2.9       TheHodgeStarOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                 43
                             3     Differential Geometry                                                                                                                                                      47
                                   3.1       Euclidean Space: Cartesian and Curvilinear Coordinates                                        .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . .           47
                                   3.2       Differentiable Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                             48
                                   3.3       Tangent Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                            49
                                   3.4       Tangent and Cotangent Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                               50
                                   3.5       Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                            51
                                   3.6       AffineConnection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                              52
                                   3.7       Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                           55
                                   3.8       Torsion        .  .  .  .  .  .  .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . .                 55
                                   3.9       Levi-Civita Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                             56
                                   3.10 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                 57
                                   3.11 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                 58
                                   3.12 Push-Forward and Pull-Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                    59
                                   3.13 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                  60
                                             3.13.1 Polar Coordinates in the Euclidean Plane                                   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . .             61
                                             3.13.2 A Helicoidal Extension of the Euclidean Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                 63