TRANSFORMATIONS
                                         WITH
                                               MATRICES
                                                                       Section 4­4
             Points on the coordinate plane can be represented by 
             matrices.  The ordered pair ( ,  ) can be represented by the 
                                         x y
             column matrix at the right.
             Polygons on the coordinate plane can be represented by placing all of 
                                                          vertex matrix
             the column matrices into one matrix called a               .
                     with vertices
             ΔABC                 A(3, 2), B(4, ­2 ), 
             and          can be represented by 
                  C(2, ­1)                       the 
             following vertex matrix.                                        A
                                      
                                                                       C
                                                                                 B
                                           transformations
           You can use matrices to perform                  . 
           (translations, reflections, and rotations)
                                                         preimage
           Remember that the original figure is called the 
                                                       image
           and the figure after the transformation is the    .
            If the two figures are congruent then the 
                               isometry
            transformation is an        .
           Example 1
                            Translation
             a.  Find the coordinates of the vertices of the image of  
                                                                              
                quadrilateral        with        ,        ,        ,
                              QUAD        Q(2, 3)  U(5, 2)  A(4, ­2)
                and          , if it is moved 4 units to the left and 2 units up.
                    D(1, ­1)  
                Write the vertex 
                matrix for 
                quadrilateral
                              QUAD.
                Write the transformation 
                matrix.
           Example 1
                          continued
            Vertex Matrix           Translation          Vertex Matrix
                                      Matrix              of
              of QUAD                                        Q'U'A'D'
                             +                       =
             The coordinates of
                      are:
             Q'U'A'D' 
                     ,        ,
             Q'(­2, 5)  U'(1, 4)  
                     and         .
             A'(0, 0)    D'(­3, 1)
             b.  Graph the 
                preimage and 
                the image.
           Example 2
             Rectangle          is the result of a translation of rectangle
                       A'B'C'D'                                      ABCD.  
             A table of the vertices of each rectangle is shown. Find the coordinates 
             of         .
                A and D'
                  Rectangle      Rectangle
                   ABCD           A'B'C'D'
                    A              A'(­1, 1)
                    B(1, 5)        B'(4, 1)
                    C(1, ­2)       C'(4, ­6)
                    D(­4, ­2)      D'
            Dilations
                                                                  dilation
              When a figure is reduced or enlarged it is called a          .
                                                                              
              All linear dimensions of the preimage change in the same ratio.
              Example:  If the length of each side of a figure doubles, 
                               then the perimeter doubles, and vice versa.
              When a dilation occurs, the figures are not congruent, they are similar.
               Therefore, Dilations are not isometries.
               You can use scalar multiplication to perform dilations.
            Example 3 Dilation
                     has vertices          ,         ,             .  Dilate
              ΔJKL                J(­2, ­3)  K(­5, 4)  and L(3, 2)          ΔJKL 
              so that its perimeter is one­half the original perimeter. 
                                                                       
                 a.  Find the vertices of
                                         ΔJ'K'L'. 
                 Multiply the vertex
                                      
                 matrix for        by the
                            ΔJKL           
                 scale factor    to find 
                               ½ 
                 the vertices of        .
                                 ΔJ'K'L'