Filetype PDF | Diposting 26 Aug 2022 | 4 thn lalu
Authentication
digital resources
403x Tipe PDF Ukuran file 0.32 MB Source: repository.dinus.ac.id
Deret dan Transformasi Fourier
Deret Fourier
Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponen-
komponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret
Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t)
dapat dinyatakan sebagai deret Fourier :
f (t) = a + ∞ [a cos(nω t)+b sin(nω t)] (1)
0 ∑ n 0 n 0
n=1
yang dapat kita tuliskan sebagai
∞ 2 2
( )
f (t) = a0 + ∑ an +bn cos(nω0t −θn) (2)
n=1
Koefisien Fourier a , a , dan b ditentukan dengan hubungan berikut:
0 n n
1 T /2
a = 0 f (t)dt
0 ∫
T −T /2
0 0
2 T /2
a = 0 f (t) cos(nω t)dt ; n > 0 (3)
n ∫ 0
T −T /2
0 0
2 T /2
b = 0 f (t)sin(nω t)dt ; n > 0
n ∫ 0
T −T /2
0 0
Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari a ; kita kalikan (1) dengan
n
cos(kω t) kemudian kita integrasikan antara −T /2 sampai T /2 dan kita akan memperoleh
o o o
T /2 T /2
o f (t) cos(kω t)dt = o a cos(kω t)dt
∫ o ∫ 0 o
−T /2 −T /2
o o
T /2
o a cos(nω t)cos(kω t)dt
∞ ∫ n 0 o
−T /2
+ ∑ o
T /2
n=1+ o b sin(nω t)cos(kω t)dt
∫ n 0 o
−T /2
o
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri
cosαcosβ= 1cos(α−β)+ 1cos(α+β)
2 2
cosαsinβ = 1sin(α−β)+ 1sin(α+β)
2 2
maka persamaan di atas menjadi
T /2 T /2
o f (t)cos(kω t)dt = o a cos(kω t)dt
∫ o ∫ 0 o
−T /2 −T /2
o o
a T /2
n o (cos((n − k)ω t) + cos((n + k)ω t))dt
∞ ∫ 0 o
2 −T /2
+ ∑ o
b T /2
n=1 n o ( )
+ sin((n − k)ω t) +sin((n + k)ω t) dtdt
∫ 0 o
2 −T /2
o
= 1 =
Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral di
ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu
a T /2 a
n o ( ) n
∫ cos((n−k)ω0t) dt = yang terjadi jika n = k
2 −T /2 2
o
2 T /2
oleh karena itu a = o f (t)cos(nω t)dt
n ∫ 0
T −T /2
o o
Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fourier-
nya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnya
dalam urain berikut ini.
Kesimetrisan Fungsi
Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t) = f(−t). Salah
satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt).
Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
∞ [ ]
f (t) = a + a cos(nω t)+b sin(nω t) dan
0 ∑ n 0 n 0
n=1
∞ [ ]
f (−t) = a + a cos(nω t)−b sin(nω t)
0 ∑ n 0 n 0
n=1
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah b = 0, dan f(t) menjadi
n
f (t) = a + ∞ [a cos(nω t)] (4)
o ∑ n 0
n=1
v(t) T
CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentuk A
gelombang deretan pulsa berikut ini.
−T/2 0 T/2
T
o
Penyelesaian :
Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda T , lebar pulsa
o
T.
1 T/2 At T /2 AT
ao = ∫ Adt = = ; bn = 0 ;
To −T/2 To −T/2 To
a = 2 T/2 Acos(nω t)dt = 2A sinnω tT/2
n ∫ o o −T/2
To −T/2 Toωon
A nπT 2A nπT
= 2sin = sin
πn T πn T
o o
Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), a = 0; a hanya mempunyai nilai untuk n = 1, 3, 5, ….
n n
(ganjil).
AT ∞ 2A nπT
f (t) = + sin cos(nω t)
T ∑ nπ T o
o o
n 1,ganjil
=
AT ∞ 2A( )(n−1)/2
= T + ∑ nπ −1 cos(nωot)
o n=1,ganjil
= 2 =
Pemahaman :
Pada fungsi yang memiliki simetri genap, b = 0. Oleh karena itu sudut fasa
n
o
harmonisa tanθ = b /a = 0 yang berarti θ = 0 .
n n n n
Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t) = −f(−t).
Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk
fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
− f (−t) = −a + ∞ [−a cos(nω t)+b sin(nω t)]
0 ∑ n 0 n 0
n=1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
f (t) = a + ∞ [a cos(nω t)+b sin(nω t)]
0 ∑ n 0 n 0
n=1
maka haruslah
a =0 dan a =0 ⇒ f (t) = ∞ [b sin(nω t)] (5)
0 n ∑ n 0
n=1
CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombang v(t) T
persegi di samping ini. A
Penyelesaian: t
Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudo −A
A, perioda T = T.
o
a =0 ; a = 0 ;
o n
2 T/2 T
bn = ∫ Asin(nωot)dt +∫ −Asin(nωot)dt
T 0 T / 2
= 2A (−cos(nω t)T/2+cos(nω t)T )
Tnω o 0 o T / 2
o
A ( 2 )
= nπ 1+cos (nπ)−2cos(nπ)
Untuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1. Dengan demikian
maka
A ( ) 4A
bn = nπ 1+1+2 = nπ untuk n ganjil ∞ 4A
A ⇒v(t)= ∑ nπsin(nωot)
( ) n=1,ganjil
bn = nπ 1+1−2 =0 untuk n genap
Pemahaman:
Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, a = 0. Oleh karena itu sudut fasa
n
o
harmonisa tanθ = b /a = ∞ atau θ = 90 .
n n n n
Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah
gelombang jika f(t) = −f(t−T /2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya
o
jika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita
inversikan kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt). Demikain pula
halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.
= 3 =
− f (t −T /2) = −a + ∞ [−a cos(nω (t −π))−b sin(nω (t −π))]
o 0 ∑ n 0 n 0
n=1
= −a + ∞ [−(−1)na cos(nω t)−(−1)nb sin(nω t)]
0 ∑ n 0 n 0
n=1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
f (t) = a + ∞ [a cos(nω t)+b sin(nω t)]
0 ∑ n 0 n 0
n=1
maka haruslah a = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai
o
harmonisa ganjil saja.
Deret Fourier Bentuk Eksponensial
Deret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus.
Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akan kita ubah
ke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan
e jα +e−jα
cosα= 2 .
Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadi
∞ 2 2
( )
f (t) = a + a +b cos(nω t−θ )
0 ∑ n n 0 n
n=1
∞ 2 2 ej(nω0t−θn) + e−j(nω0t−θn) (6)
= a + a +b
0 ∑ n n 2
n=1
∞ a2 +b2 ∞ a2 +b2
= a + n n ej(nω0t−θn) + n n e−j(nω0t−θn)
0 ∑ 2 ∑ 2
n=1 n=1
Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika penjumlahan ini kita
ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan penyesuaian a menjadi a , b menjadi b ,
n −n n −n
dan θ menjadi θ , maka menurut (3) perubahan ini berakibat
n −n
2 T /2 2 T /2
a = 0 f (t) cos(−nω t)dt = 0 f (t) cos(nω t)dt = a
−n ∫ 0 ∫ 0 n
T −T /2 T −T /2
0 0 0 0
2 T /2 2 T /2
b = 0 f (t)sin(−nω t)dt = − 0 f (t)sin(nω t)dt = −b (7)
−n ∫ 0 ∫ 0
T −T /2 T −T /2
0 0 0 0
tanθ = b−n = −bn ⇒θ =−θ
−n a a −n n
−n n
Dengan (7) ini maka (6) menjadi
∞ a2 +b2 −∞ a2 +b2
f (t) = ∑ n n e j(nω0t−θn) + ∑ n n e j(nω0t−θn) (8)
2 2
n=0 n=−1
Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n = 0 untuk
memasukkan a sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8) dapat
0
ditulis menjadi
= 4 =
no reviews yet
Please Login to review.
